バイパス3次関数

 

   は整数とし、その導関数

について

 、 ともに整数解だけをもつものをバイパス3次関数とゆうことにする。

 

「1」が整数解  をもつとき

   となる。だからこのとき、

 とする、 は

 

 となる、これが整数だから、

 、( は整数)の必要性がある。

このとき

 が奇数なら も奇数

* が偶数なら も偶数

  となる。つまり は ともに奇数かともに偶数である。よって

解  は整数となる。

以上で

が整数解  をもつ必要十分条件は

 で 

となることである。

  

 

 

2 つまり  について考える

 が 奇偶を共にするときだけ

    はともに偶数となり、右辺は4の倍数となる。

 

「3」だから となる。

これについて考える

(1) が偶数のとき

 ( 整数)

となり、これが3つの整数解をもつからとして

 とかける。

(2) が奇数のとき 整数係数だから ( 整数)とし

と変形でき

さらに3つの整数解をもつから 係数はすべて  の倍数である。

よって まずとして

さらに

となる。このとき「3つの整数解をもつ」から  も整数のはず

これは「  が奇数」に反する。

以上で

 

 において、は ともに偶数である

 

「3」がバイパス3次関数ならもバイパス3次関数である。

(ただし  は整数)

 

証明

  の解を  

の解を   すべて整数解とする

 の解は  より

 

また の解はより

以上で

 がバイパス3次関数ならば

もバイパス3次関数である。

したがって、この形を以下調べる。

「4」

 でとする

 を平行移動してとできる。

あらたに

として考える

 の解は 

 

「1」より

となる。

そこで

  は整数 このとき

解は 

また、これが整数だから

 と  は偶、奇をともにする

 

以上を参考にして

バイパス3次関数をつくる

 

(1)=0のとき  より

 より 

(ただし  は偶数)

(1−1)とくに  なら

(2)のとき  より

  

  

(3)その他

<1>  を決める

<2>  、 、 、は偶奇をともにする

<>  、 をとき

 とし 

 として 

 

 

baipas.exe でつくる。